A figura a seguir mostra uma parte do gráfico de uma função quadrática.
Dois pontos do gráfico são dados: A = (2, 15) e B = (4, 26).
O gráfico encontrará novamente o eixo X no ponto de abscissa
(A) 16.
(B) 17.
(C) 18.
(D) 19.
(E) 20.
Resposta.
Vamos iniciar listando o que temos a partir do enunciado e do gráfico
- Sabemos que f(2) = 15 e f(4) = 26
- A função quadrática é dada por f(x)=ax²+bx+c
- Vemos no gráfico que f(0) = 0, logo c=0 então f(x)=ax²+bx
- A parábola está voltada para baixo o que implica em a<0
Podemos então montar um sistema utilizando f(2) e f(4), veja
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} a\cdot 2^2+b\cdot 2=15 \\ a\cdot 4^2+b\cdot 4=26 \end{matrix}\right. $
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} 4a+2b=15 \\ 16a+4b=26 \end{matrix}\right. $
Resolvendo pelo método da adição
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} 4a+2b=15 \cdot(-2) \\ 16a+4b=26 \end{matrix}\right. $
$\displaystyle \left\{\begin{matrix} -8a-4b=-30 \\ 16a+4b=26 \end{matrix}\right. $
Somando
$\displaystyle 8a = -4 $
$\displaystyle a=\frac{-4}{8}=\frac{-1}{2} $
Agora podemos encontrar coeficiente b. Para isso escolhemos uma das expressões, por exemplo,
$\displaystyle 4a + 2b =15 $
$\displaystyle 4\cdot \frac{-1}{2} + 2b =15 $
$\displaystyle \frac{-4}{2} + 2b =15 $
$\displaystyle -2 + 2b =15 $
$\displaystyle 2b =15+2 $
$\displaystyle b=\frac{17}{2}$
$\displaystyle f(x) = \frac{-1}{2}x^2+\frac{17}{2}x $
"o gráfico encontrará novamente o eixo x no ponto de abscissa" significa que a questão está pedindo para calcular a outra raiz (já sabemos que x= 0 é raiz pelo gráfico).
Por ser uma equação incompleta podemos resolver colocando o x em evidência.
$\displaystyle f(x) = x(\frac{-1}{2}x+\frac{17}{2}) $
Sabemos que os zeros dessa função são:
$\displaystyle x=0 $
e
$\displaystyle \frac{-1}{2}x+\frac{17}{2}=0 $
Resolvendo, essa expressão encontramos a segunda raíz.
$\displaystyle \frac{-1}{2}x+\frac{17}{2}=0 $
$\displaystyle \frac{1}{2}x = \frac{17}{2} $
$\displaystyle x = \frac{17}{2} \cdot \frac{2}{1}=17 $
Alternativa B
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