A expressão aritmética $\displaystyle \frac{2+4+6+\cdot\cdot\cdot+20}{1+3+5+\cdot\cdot\cdot+19}-\frac{1+3+5+\cdot\cdot\cdot+19}{2+4+6+\cdot\cdot\cdot+20} $ vale:
(A) $\displaystyle \frac{19}{20}. $
(B) $\displaystyle \frac{19}{110}. $
(C) $\displaystyle \frac{19}{21}. $
(D) $\displaystyle \frac{21}{110}. $
(E) $\displaystyle \frac{2}{11}. $
Resposta.
Podemos resolver utilizando soma de PA (Progressão Aritmética), temos duas progressões:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 (10 termos)
e
1,3,5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,19 (10 termos)
A fórmula que vamos utilizar é
$\displaystyle S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2} $
A soma da sequência par
$\displaystyle S_{n}=\frac{(2+20)10}{2}=110 $
A soma da sequência ímpar
$\displaystyle S_{n}=\frac{(1+19)10}{2}=100 $
Voltando para expressão
$\displaystyle \frac{2+4+6+\cdot\cdot\cdot+20}{1+3+5+\cdot\cdot\cdot+19}-\frac{1+3+5+\cdot\cdot\cdot+19}{2+4+6+\cdot\cdot\cdot+20} $
$\displaystyle \frac{110}{100}-\frac{100}{110} $
$\displaystyle \frac{11}{10}-\frac{10}{11}= \frac{121 - 100}{110}= \frac{21}{110} $
Alternativa D
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